Question

已知函數是奇函數，f（-1）=-2，f（2）＜3．
（1）求函數f（x）解析式；
（2）若g（x）=x•f（x），?（x）=g[g（x）]-λg（x），試問：是否存在實數λ，使∅（x）在（-∞，-1）內是單調遞減，在（-1，0）內是單調遞增的，若存在，求λ值；若不存在，說明理由．
（3）附加題：若，研究函數m（x），寫出m（x）性質，并畫出圖象．

Answer 1

解：（1）∵函數是奇函數，
∴f（-x）=-f（x）
即
∴c=0，f（x）=
∵f（-1）=-2，f（2）＜3．
∴
∵
∴，解得-1＜a＜2
∵a∈Z
∴a=0或a=1
當a=0時，b=
當a=1時，b=1，滿足題意，此時f（x）=
（2）∵g（x）=xf（x）=1+x²，
∅（x）=g[g（x）]-λg（x）=g（1+x²）-λ（1+x²）=1+（1+x²）²-λ（1+x²）
=x⁴+（2-λ）x²+2-λ
∴∅′（x）=4x³+2（2-λ）x
若使函數∅（x）在（-∞，-1）內是單調遞減，在（-1，0）內是單調遞增
則∅；（-1）=0即-4-2（2-λ）=0
∴λ=4，此時∅（x）=x⁴-2x²-2，∅′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1）
∅′（x）＞0可得x＞1或-1＜x＜0，即函數在（1，+∞），（-1，0）單調遞增
∅′（x）＜0可得0＜x＜1或x＜-1即函數在（0，1），（-∞，-1）單調遞減
使∅（x）在（-∞，-1）內是單調遞減，在（-1，0）內是單調遞增的λ=4
（3）m（x）=f（x）-=，圖象如右
定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）
值域：R
奇偶性：m（-x）=-x+=-m（x），函數為奇函數
單調性：在（-∞，0），（0，+∞）上單調遞增
分析：（1）由題意可得f（-x）=-f（x），即可求c，再由f（-1）=-2，f（2）＜3結合a，b∈Z 可求a，b，進而可求f（x）
（2）由（1）可得g（x）=xf（x）=1+x²，則∅（x）=g[g（x）]-λg（x）=x⁴+（2-λ）x²+2-λ，對函數求導可得∅′（x）=4x³+2（2-λ）x，若使函數∅（x）在（-∞，-1）內是單調遞減，在（-1，0）內是單調遞增，則∅；（-1）=0即-4-2（2-λ）=0，可求λ，代入檢驗是否符合題意
（3）m（x）=f（x）-=，從函數的定義域、值域、單調性、奇偶性等方面研究函數的性質
點評：本題綜合考查了函數的奇偶性的應用，利用導數判斷函數的單調區間的存在及函數性質的研究，考查了考試探索新問題的能力