Question

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）證明：|

a

+

b

|=|

a

-

b

|； 
（2）若存在不同時為零的實數k和t，使

x

=

a

+（t²-3）

b

，

y

=-k

a

+t

b

，且

x

⊥

y

，試求函數關系式k=f（t）；
（3）據（2）的結論，討論關于t的方程f（t）-k=0的解的情況．

Answer 1

分析：（1）利用向量的運算和模的計算公式即可得出；
（2）利用向量的數量積運算、垂直與數量積的關系即可得出；
（3）利用導數研究函數的單調性、極值即可得出．

解答：解：（1）∵

a

+

b

=(

3

+

1

2

，

3

2

-1)，

a

-

b

=(

3

-

1

2

，-1-

3

2

)．
∴|

a

+

b

|=

( 3 + 1 2 )2+( 3 2 -1)2

=

5

，|

a

-

b

|=

( 3 - 1 2 )2+(-1- 3 2 )2

=

5

．
∴|

a

+

b

|=|

a

-

b

|； 
（2）|

a

|=

( 3 )2+(-1)2

=2，|

b

|=

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=1，

a

•

b

=

3

×

1

2

-1×

3

2

=0．
∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=[

a

+(t2-3)

b

]•(k

a

+t

b

)=k

a

2+t(t2-3)

b

2=2k+t(t2-3)=0．
∴k=-

1

2

t(t2-3)．
（3）由（2）可知：f（t）=-

1

2

t3+

3

2

t，
f′(t)=-

3

2

t2+

3

2

=-

3

2

(t+1)(t-1)，令f′（x）=0，解得t=±1．
列表如下：
由表格可知：當x=-1時，函數f（x）取得極小值f（-1）=-1；
當x=1時，函數f（x）取得極大值f（1）=1．
因此：①當k=±1時，方程f（t）-k=0由兩解；
②當-1＜k＜1時，方程f（t）-k=0由3個解；
③當k＜-1或1＜k時，方程f（t）-k=0由1個解．

點評：熟練掌握向量的運算和模的計算公式、向量的數量積運算、垂直與數量積的關系、利用導數研究函數的單調性、極值等是解題的關鍵．