Question

在平面直角坐標系xOy中，點A（4，0）、B（1，0），動點P滿足

AB

•

AP

=6|

PB

|．
（1）求點P的軌跡C的方程．
（2）若直線y=x+b（b＞0）與軌跡C相交于M、N兩點，直線y=x-b與軌跡C相交于P、Q兩點，順次連接M、N、P、Q得到的四邊形MNPQ是菱形，求b．

Answer 1

分析：（1）設出P的坐標，則

AB

，

AP

和

PB

可表示出，根據

AB

•

AP

=6|

PB

|整理求得P的軌跡方程．
（2）設出M，N的坐標，利用對稱性可推斷出P，Q的坐標，因為MNPQ是菱形，判斷出MP⊥NQ，

MP

•

NQ

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，由直線與橢圓的方程聯立消去y后，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用x₁x₂+y₁y₂=0，求得b．

解答：解：（1）設P（x，y），則

AB

=(-3，0)，

AP

=(x-4，y)，

PB

=(1-x，-y)，
因為

AB

•

AP

=6|

PB

|，所以-3(x-4)=6

(x-1)2+y2

，
化簡整理得點P的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），由C的對稱性，得P（-x₁，-y₁）、Q（-x₂，-y₂），
因為MNPQ是菱形，所以MP⊥NQ，

MP

•

NQ

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0，
由

x2 4 + y2 3 =1 y=x+b

得7x²+8bx+（4b²-12）=0，x1+x2=-

8b

7

，x1x2=

4b2-12

7

x1x2+y1y2=x1x2+(x1+b)(x2+b)=2x1x2+b(x1+x2)+b2=b2-

24

7

=0，
檢驗知，此時△=(8b)2-4×7×(4b2-12)=336-48b2=

1200

7

＞0，
所以b=

2 42

7

．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，軌跡方程問題．考查了學生分析問題和解決問題的能力．