Question

已知平面向量

a

=(

3

2

，-

1

2

)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，若存在不為零的實數m，使得：

c

=

a

+2x

b

，

d

=-y

a

+(m-2x2)

b

，且

c

⊥

d

，
（1）試求函數y=f（x）的表達式；
（2）若m∈（0，+∞），當f（x）在區間[0，1]上的最大值為12時，求此時m的值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的條件，寫出兩個向量的數量積為0，得到兩個向量垂直，又根據垂直得到數量積為0，整理最后一個關于向量數量積的等式，把y表示成x的函數，得到結果．
（2）首先求函數的導函數，根據導函數與0的關系，判斷函數的單調性，單調區間是包含字母m的，要針對于m的取值寫出這種情況下的最大值，得到符合題意的m的值，把不合題意的數字舍去．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=

3

2

×

1

2

-

1

2

×

3

2

=0，∴

a

⊥

b

．∵

c

⊥

d

，
∴

c

•

d

=0，又知

a

2=1，

b

2=1．

c

•

d

=-y+2x(m-2x2)=0.
∴y=2mx-4x³，
故f（x）=2mx-4x³．
（2）f（x）=2mx-4x³，則f'（x）=2m-12x²，其中m＞0，
當0≤x＜

m 6

時，f'（x）＞0，f（x）在[0，

m 6

]上單調遞增；
當x＞

m 6

時，f'（x）＜0，f（x）在(

m 6

，+∞)上單調遞減，
①若

m 6

≥1，即m≥6，則f（x）在[0，1]上單調遞增，此時f（x）
在區間[0，1]上的最大值f（x）_max=f（1）=2m-4=12，解得m=8滿足條件．
②若

m 6

＜1，即0＜m＜6，則f（x）在[0，

m 6

]上單調遞增，在(

m 6

，1)
上單調遞減，則f（x）在區間[0，1]上的最大值f(x)max=f(

m 6

)=2

m 6

•m-4(

m 6

)3=12，
解得m3=486，m=3

3	18

＞6，不滿足0＜m＜6，舍去．
綜上所述，存在常數m=8，使函數f（x）在區間[0，1]上的最大值為12．

點評：本題考查向量的數量積．考查導函數在求最大值和最小值時的應用，本題考查分類討論思想，是一個綜合題，結合向量，導數，函數三方面的內容，是一個易錯題．