Question

已知定義在R上的奇函數f（x），對任意實數x，滿足f（x+2）=-f（x），且當0＜x≤1時，f（x）=3^x+1．
（Ⅰ）求f（0）、f（2）和f（-2）的值；
（Ⅱ）證明函數f（x）是以4為周期的周期函數；
（Ⅲ）當-1≤x≤3時，求f（x）的解析式（結果寫成分段函數形式）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x+2）=-f（x），利用賦值法分別進行求值．
（Ⅱ）利用周期函數的定義證明周期．
（Ⅲ）利用周期性和奇偶性求解析式．

解答：解：（Ⅰ）因為函數f（x）是奇函數，所以f（0）=0，
由f（x+2）=-f（x），得f（2）=-f（0）=0．
因為f（-2+2）=-f（-2）=f（0），
所以f（-2）=0．
（Ⅱ）由f（x+2）=-f（x），得f（x+4）=f（x），所以函數是周期函數，且周期為4．
（Ⅲ）因為函數f（x）是奇函數，所以f（-x）=-f（x），
所以f（x+2）=-f（x）=f（-x），所以函數關于x=1對稱．
當-1≤x＜0時，0＜-x≤1，所以f（-x）=3^-x+1=-f（x），所以此時f（x）=-3^-x-1．
當0＜x≤1時，f（x）=3^x+1．
當1＜x≤2時，-1＜x-2≤0，此時f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=3^2-x+1，
當2＜x≤3時，0＜x-2≤1，此時f（x）=f（x-2+2）=-f（x-2）=-[3^x-2+1]=-3^x-2-1．
綜上f(x)=

-3-x-1，-1≤x＜0 0，x=0 3x+1，0＜x≤1 32-x+1，1＜x≤2 -3x-2-1，2＜x≤3

．

點評：本題主要考查函數奇偶性和周期性的應用，考查分段函數的應用，綜合性較強．