Question

在正四面體ABCD中，E、F分別為棱AD、BC的中點，連接AF、CE，則異面直線AF和CE所成角的正弦值為（　�。�

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、

  2

  4

• D、

  5

  3

Answer 1

分析：畫出立體圖形，根據中點找平行線，把所求的異面直線角轉化為一個三角形的內角來計算．

解答：解：如圖，連接BE，取BE的中點K，連接FK，則FK∥CE，
故∠AFK即為所求的異面直線角或者其補角．
設這個正四面體的棱長為2，在△AKF中，
AF=

3

，KF=

1

2

CE=

3

2

．
AK=

AE2+KE2

=

12+( 3 2 )2

=

7

2

．
∴cos∠AFK=

AF2+FK2 -AK2

2AF•FK

=

3+ 3 4 - 7 4

2× 3 ×  3 2

=

2

3

．
∴sin∠AFK=

1-cos 2∠AFK

=

1-( 2 3 )2

=

5

3

．
故選D．

點評：本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現平行線的關鍵技巧．本題易錯點在于要看清是求異面直線AF和CE所成角的正弦值，而不是余弦值，不要錯選答案B．