Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點F，且點F在CE上，點M是線段AB的中點．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）求三棱錐D-AEC的體積；
（3）試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE．

Answer 1

分析：（1）先證明CB⊥平面AEB，因為CB∥DA，從而AE⊥BC，又由BF⊥平面ACE，可證得AE⊥BF，最后由線面垂直的判定定理證明AE⊥平面BCE，從而AE⊥BE．
（2）先將求三棱錐D-AEC的體積問題轉化為求三棱錐E-ADC的體積問題，再證明EM即為三棱錐E-ADC的高，最后計算三角形ADC的面積，利用椎體的體積公式計算即可
（3）取BE中點G，連接MG，則MG∥平面ADE，若MN∥平面DAE，則平面GMN∥平面ADE，從而NG∥AD∥BC，從而發現點N即為CE的中點，而F即為CE的中點，故當點N與點F重合時，MN∥平面ADE．

解答：證明：（1）由AD⊥平面ABE及AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC
而BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴AE⊥BE．
解：（2）連接EM，∵M為AB中點，AE=EB=BC=2，∴EM⊥AB
又DA⊥平面ABE，EM?ABE平面，∴DA⊥EM，所以EM⊥平面ACD
由已知及（1）得EM=

1

2

AB=

2

，S△ADC=2

2

．
故VD-AEC=VE-ADC=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

（3）取BE中點G，連接MG，GF，FM．
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE，
又EB=BC，所以F為CE中點，∴GF∥BC
又∵BC∥AD，∴GF∥AD
所以GF∥平面ADE   
同理MG∥平面ADE，所以平面GMF∥平面ADE
又MF?平面MGF，則MF∥平面ADE．  
∴當點N與點F重合，即N為線段CE的中點時，MN∥平面ADE．

點評：本題考察了線面平行，面面平行的性質和判定定理的應用，線面垂直，線線垂直的性質和判定定理的應用，三棱錐體積的計算方法等知識