Question

如圖，橢圓的方程為，其右焦點為F，把橢圓的長軸分成6等分，過每個等分點作x軸的垂線交橢圓上半部于點P₁，P₂，P₃，P₄，P₅五個點，且|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l過F點（l不垂直坐標軸），且與橢圓交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M（m，0），試求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，知P₁與P₅，P₂與P₃分別關于y軸對稱
設橢圓的左焦點為F₁，則|P₁F|+|P₅F|=|P₁F|+|P₁F₁|=2a，同時|P₂F|+|P₃F|=2a而|P₃F|=a
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5a=5
∴a=
∴橢圓的方程為；
（2）由題意，F（1，0），設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓方程
消元整理，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為（x₀，y₀），
則
∴線段AB的垂直平分線方程為y-y₀=-（x-x₀）
令y=0，得m=x₀+ky₀===
由于，∴
∴0＜m＜．
分析：（1）由題意，知P₁與P₅，P₂與P₃分別關于y軸對稱，設橢圓的左焦點為F₁，從而|P₁F|+|P₅F|=|P₁F|+|P₁F₁|=2a，|P₂F|+|P₃F|=2a，|P₃F|=a，利用|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|+|P₄F|+|P₅F|=5a=5，即可求得橢圓的方程；
（2）設l的方程為y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓方程，利用韋達定理，確定AB的中點的坐標，求出線段AB的垂直平分線方程，表示出m，即可確定m的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的對稱性，考查韋達定理的運用，求出線段AB的垂直平分線方程是關鍵．