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【題目】已知橢圓 的離心率為 ,且過點
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)設直線 與圓 相切于點 ,且 與橢圓 只有一個公共點 .
①求證:
②當 為何值時, 取得最大值?并求出最大值.

【答案】解:(I)橢圓E的方程為
(Ⅱ)①因為直線 與圓C: 相切于A,得 ,

又因為 與橢圓E只有一個公共點B
,且此方程有唯一解.

②由①②,得
②設 ,由
由韋達定理,
點在橢圓上,∴

在直角三角形OAB中,


【解析】(1)根據橢圓的性質得到,再將點(,2)代入橢圓方程,解方程組即可得到。
(2)①根據直線與圓的位置關系,利用點到直線的距離公式可以得到t,k,R的等量關系;再根據直線與橢圓的交點為一個,聯立方程,可得=0;結合兩個等式,消去t2即可得到。
②因為是直角三角形,故根據勾股定理可得,而OA長為R,故要將B點坐標用R表示出來,代入等式即可得到AB的長度。

練習冊系列答案
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A.
B.
C.
D.

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