【題目】已知橢圓 的離心率為
,且過點
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)設直線 與圓
相切于點
,且
與橢圓
只有一個公共點
.
①求證: ;
②當 為何值時,
取得最大值?并求出最大值.
【答案】解:(I)橢圓E的方程為
(Ⅱ)①因為直線 與圓C:
相切于A,得
,
即 ①
又因為 與橢圓E只有一個公共點B ,
由 得
,且此方程有唯一解.
則 即
②由①②,得
②設 ,由
得
由韋達定理,
∵ 點在橢圓上,∴
∴
在直角三角形OAB中,
∴
【解析】(1)根據橢圓的性質得到,
,再將點(
,2)代入橢圓方程,解方程組即可得到。
(2)①根據直線與圓的位置關系,利用點到直線的距離公式可以得到t,k,R的等量關系;再根據直線與橢圓的交點為一個,聯立方程,可得=0;結合兩個等式,消去t2即可得到。
②因為是直角三角形,故根據勾股定理可得
,而OA長為R,故要將B點坐標用R表示出來,代入等式即可得到AB的長度。
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】潮州統計局就某地居民的月收入調查了人,并根據所得數據畫了樣本的頻率分
布直方圖(每個分組包括左端點,不包括右端點,如第一組表示收入在)。
(1)求居民月收入在的頻率;
(2)根據頻率分布直方圖算出樣本數據的中位數;
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業等方面的關系,必須按月收入再從這人中分層抽樣方法抽出
人作進一步分析,則月收入在
的這段應抽多少人?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且a、b、c成等比數列,c= bsinC﹣ccosB.
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若b=2 ,求△ABC的周長和面積.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知以點為圓心的圓過點
和
,線段
的垂直平分線交圓
于點
、
,且
,
(1)求直線的方程; (2)求圓
的方程。
(3)設點在圓
上,試探究使
的面積為 8 的點
共有幾個?證明你的結論
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,是東西方向的公路北側的邊緣線,某公司準備在
上的一點
的正北方向的
處建一倉庫,并在公路同側建造一個正方形無頂中轉站
(其中邊
在
上),現從倉庫
向
和中轉站分別修兩條道路
,
,已知
,且
,設
,
.
(1)求關于
的函數解析式;
(2)如果中轉站四周圍墻(即正方形周長)造價為萬元
,兩條道路造價為
萬元
,問:
取何值時,該公司建中轉圍墻和兩條道路總造價
最低?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: +
=1(a>b>0)的離心率為
,點B是橢圓C的上頂點,點Q在橢圓C上(異于B點).
(Ⅰ)若橢圓V過點(﹣ ,
),求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+b與橢圓C交于B、P兩點,若以PQ為直徑的圓過點B,證明:存在k∈R, =
.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著,書中提到了一種名為“芻甍”的五面體(如圖)面 為矩形,棱
.若此幾何體中,
,
和
都是邊長為
的等邊三角形,則此幾何體的表面積為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為
,且過點
.
(1)求橢圓 的方程;
(2)設不過原點 的直線
與橢圓
交于
兩點,直線
的斜率分別為
,滿足
,試問:當
變化時,
是否為定值?若是,求出此定值,并證明你的結論;若不是,請說明理由.
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