Question

設函數f（x）=x²e^x-1-

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x³-x²，g（x）=

2

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x³-x²，試比較f（x）與g（x）的大小．

Answer 1

分析：作差，構建新函數，求導數，利用導數的正負確定函數的單調性，從而可得函數的最值，即可比較大小．

解答：解：∵f（x）=x²e^x-1-

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x³-x²，g（x）=

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x³-x²，
∴f（x）-g（x）=x²（e^x-1-x），令h（x）=e^x-1-x，則h′（x）=e^x-1-1．
令h′（x）=0，得x=1，因為x∈（-∞，1]時，h′（x）≤0，
所以h（x）在x∈（-∞，1]上單調遞減．
故x∈（-∞，1]時，h（x）≥h（1）=0；
因為x∈[1，+∞）時，h′（x）≥0，所以h（x）在x∈[1，+∞）上單調遞增．
故x∈[1，+∞）時，h（x）≥h（1）=0．
所以對任意x∈R，恒有h（x）≥0，
又x²≥0，因此f（x）-g（x）≥0，
故對任意x∈R，恒有f（x）≥g（x）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數值的大小比較，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．