Question

18．函數f（x）=lnx+x²+a-1有唯一的零點在區間（1，e）內，則實數a的取值范圍是（　　）

• A． （-e²，0）
• B． （-e²，1）
• C． （1，e）
• D． （1，e²）

Answer 1

分析 利用導數得到函數為增函數，由題意可得f（1）＜0且f（e）＞0，解得即可．

解答 解：∵f（x）=lnx+x²+a-1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$+2a＞0在區間（1，e）上恒成立，
∴f（x）在（1，e）上單調遞增，
∵函數f（x）=lnx+x²+a-1有唯一的零點在區間（1，e）內，
∴f（1）＜0且f（e）＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{ln1+1+a-1＜0}\\{lne+{e}^{2}+a-1＞0}\end{array}\right.$，
解得-e²＜a＜0，
故選：A

點評 本題考查了函數的單調性，函數的零點個數判斷，屬于中檔題．