Question

已知函數f（x）=x²+lnx．
（1）求函數f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（2）求證：當x∈（1，+∞）時，函數f（x）的圖象在g（x）=

2

3

x³+

1

2

x²的下方．

Answer 1

分析：（1）求出導數f′（x），易判斷x＞1時f′（x）的符號，從而可知f（x）的單調性，根據單調性可得函數的最值；
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2-

2

3

x3+lnx，則只需證明F（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，進而轉化為F（x）的最大值小于0，利用導數可求得F（x）的最大值．

解答：（1）解：∵f（x）=x²+lnx，∴f′（x）=2x+

1

x

，
∵x＞1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函數，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e²；
（2）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x2-

2

3

x3+lnx，
則F′（x）=x-2x²+

1

x

=

x2-2x3+1

x

=

x2-x3-x3+1

x

=

(1-x)(2x2+x+1)

x

，
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是減函數，
∴F（x）＜F（1）=

1

2

-

2

3

=-

1

6

＜0，即f（x）＜g（x），
∴當x∈（1，+∞）時，函數f（x）的圖象總在g（x）的圖象下方．

點評：本題考查利用導數研究函數在閉區間上的最值及恒成立問題，考查轉化思想，恒成立問題往往轉化為函數最值解決．