Question

（2012•天津）現有4個人去參加娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數大于2的人去參加乙游戲．
（1）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；
（2）求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；
（3）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記ξ=|X-Y|，求隨機變量ξ的分布列與數學期望Eξ．

Answer 1

分析：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為

1

3

，去參加乙游戲的人數的概率為

2

3

設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），故P（A_i）=

C

I 4

(

1

3

)I(

2

3

)4-I
（1）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P（A₂）；
（2）設“這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲”為事件B，則B=A₃∪A₄，利用互斥事件的概率公式可求；
（3）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，求出相應的概率，可得ξ的分布列與數學期望．

解答：解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為

1

3

，去參加乙游戲的人數的概率為

2

3

設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），∴P（A_i）=

C

I 4

(

1

3

)I(

2

3

)4-I
（1）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P（A₂）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

8

27

；
（2）設“這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲”為事件B，則B=A₃∪A₄，
∴P（B）=P（A₃）+P（A₄）=

C

3 4

(

1

3

)3×

2

3

+

C

4 4

 (

1

3

)4=

1

9

（3）ξ的所有可能取值為0，2，4，由于A₁與A₃互斥，A₀與A₄互斥，故P（ξ=0）=P（A₂）=

8

27

P（ξ=2）=P（A₁）+P（A₃）=

40

81

，P（ξ=4）=P（A₀）+P（A₄）=

17

81

∴ξ的分布列是

ξ	0	2	4
P	8 27	40 81	17 81

數學期望Eξ=0×

8

27

+2×

40

81

+4×

17

81

=

148

81

點評：本題考查概率知識的求解，考查互斥事件的概率公式，考查離散型隨機變量的分布列與期望，屬于中檔題．