Question

設關于x，y的不等式組

cosθ≤x≤2cosθ sinθ≤y≤2sinθ

(θ∈R)表示的平面區域為Ω，點P（x，y）是Ω中的任意一點，點M（x，y）在圓C：（x+3）²+（y+3）²=1上，則|

PM

|的最小值為（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：由不等式的性質和參數方程的意義，得平面區域Ω是位于第一象限的扇環（含邊界），如圖所示．由此可得動點P位于點A（1，0）或B（0，1）時，點C到P的距離最小，且此時圓C上點M到P的距離達到最小值，得到本題答案．

解答：解：∵在不等式組中cosθ≤2cosθ且sinθ≤2sinθ
∴θ滿足cosθ≥0且sinθ≥0
由此可得不等式組

cosθ≤x≤2cosθ sinθ≤y≤2sinθ

(θ∈R)
滿足1≤x²+y²≤4，且x、y都是大于或等于0
所以平面區域Ω是位于第一象限的扇環（含邊界），如圖所示
∵圓C：（x+3）²+（y+3）²=1的圓心為C（-3，-3），半徑為1
∴當動點P位于點A（1，0）或B（0，1）時，點C到P的距離最小，
得|PC|最小值為

(1+3)2+(0+3)2

=5
因此，當點M（x，y）在圓C上運動時，|

PM

|的最小值為5-1=4
故選A

點評：本題給出不等式組表示的平面區域，求兩個動點之間距離的最小值，著重考查了兩點間的距離公式和圓的幾何性質等知識，屬于中檔題．