Question

（12分）設函數f(x)=lnx-px+1(1)當P>0時，若對任意x>0，恒有f(x)≤0,求P的取值范圍（2）證明：    (n∈N，n≥2)

Answer 1

（1）P≥1（2）

解析:

：（1）f(x)=ln₂x-px+1定義域（0，+∞）,f′(x)=-p==

   當P>0時，令f′(x)=0,x=（0，+∞）…………3分

當x∈(0, )時，f′(x)>0   f(x)為增函數，

當x∈( ，+∞)時f′(x)<0   f(x)為減函數。f(x)_max=f()=ln

要使f(x)≤0恒成立只要f()=ln≤0∴P≥1………5分

（2）令P=1 由（1）知：lnx-x+1≤0∴lnx≤x-1   n≥2

lnn²≤n²-1     ………8分

∴

   =(n-1)-()<(n-1)-[]

=(n-1)-(+)=(n-1)-()=…12分