Question

（2012•藍山縣模擬）2012年中秋、國慶長假期間，由于國家實行6座及以下小型車輛高速公路免費政策，導致在長假期間高速公路出現擁堵現象．長假過后，據有關數據顯示，某高速收費路口從上午6點到中午12點，車輛通過該收費站的用時y（分鐘）與車輛到達該收費站的時刻t之間的函數關系式可近似地用以下函數給出：
y=f(t)=

- 1 8 t3- 3 4 t2+36t- 629 4 ，6≤t＜9 t 6 + 288 3t ，9≤t≤10 -3t2+66t-345，10＜t≤12

求從上午6點到中午12點，通過該收費站用時最多的時刻．

Answer 1

分析：由已知中的分段函數，利用導數法，可以判斷出第一段上函數的單調性，進而求出第一段上的最值；利用基本不等式，可以求出第二段函數的最值，根據二次函數的圖象和性質，可以判斷第三段函數的最值，綜合可得答案．

解答：解：當t∈[6，9）時，f(t)=-

1

8

t3-

3

4

t2+36t-

629

4

得：f′(t)=-

3

8

t2-

3

2

t+36=-

3

8

(t+12)(t-8)
故：f（t）在（6，8）單調遞增，在（8，9）單調遞減，
因此，f（t）_max=f(8)=

75

4

；…．（4分）
當t∈[9，10]時，f(t)=

t

6

+

288

3t

≥2

t 6 × 288 3t

=8．
當且僅當

t

6

=

288

3t

，
即：t=24∉[9，10]．因此f（t）在[9，10]單調遞減，
所以，f(t)max=f(9)=

73

6

．…（8分）
當t∈（10，12]時，f（t）=-3t²+66t-345，對稱軸為t=11，
故f（t）_max=f（11）=18．    …（12分）
綜上所述：f(t)max=

75 4 ，6≤t＜9 73 6 ，9≤t≤10 18，10＜t≤12

．
故：通過收費站用時最多的時刻為上午8點．…..（13分）

點評：本題考查的知識點是函數的最值，分段函數的最值，導數求函數的最值，基本不等式求最值，難度較大．