Question

已知函數f（x）=log₄（ax²+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的單調區間；
（2）是否存在實數a，使f（x）的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=log₄（ax²+2x+3）且f（1）=1，
∴log₄（a●1²+2×1+3）=1a+5=4a=﹣1
可得函數f（x）=log₄（﹣x²+2x+3）
∵真數為﹣x²+2x+3＞0﹣1＜x＜3
∴函數定義域為（﹣1，3）
令t=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4 可得：
當x∈（﹣1，1）時，t為關于x的增函數；
當x∈（1，3）時，t為關于x的減函數．
∵底數為4＞1
∴函數f（x）=log₄（﹣x²+2x+3）的單調增區間為（﹣1，1），單調減區間為（1，3）
（2）設存在實數a，使f（x）的最小值為0，由于底數為4＞1，
可得真數t=ax²+2x+3≥1恒成立，且真數t的最小值恰好是1，
即a為正數，且當x=﹣=﹣時，t值為1．
所以a=

所以a=，使f（x）的最小值為0．