Question

已知雙曲線的中心在原點，以兩條坐標軸為對稱軸，離心率是，兩準線間的距離大于，且雙曲線上動點P到A（2，0）的最近距離為1．
（Ⅰ）求證：該雙曲線的焦點不在y軸上；
（Ⅱ）求雙曲線的方程；
（Ⅲ）如果斜率為k的直線L過點M（0，3），與該雙曲線交于A、B兩點，若，試用l表示k²，并求當時，k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）反證法：假設雙曲線的焦點在y軸上，因為雙曲線上任一點到點A（2，0）的距離大于點A到漸近線的距離，
而點A到漸近線的距離大于1，這與“雙曲線上動點P到A（2，0）的最近距離為1”矛盾，故假設不對．
（2）雙曲線的焦點在x軸上，設出方程，待定系數法求方程．
（3）直線方程與雙曲線方程聯立，化為一元二次方程，應用根與系數的關系、2個向量關系，用λ表示k²，
由λ范圍，求k的取值范圍．
解答：證明：（Ⅰ）設雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c，
由，得c=a，a=b，
∴雙曲線的漸近線方程為y=±x．
若雙曲線的焦點在y軸上，
則雙曲線上任一點到點A（2，0）的距離大于點A到漸近線的距離，
而點A到漸近線的距離d=＞1，
這與“雙曲線上動點P到A（2，0）的最近距離為1”矛盾．
所以雙曲線的焦點不在y軸上．
方法二：聯立雙曲線方程y²-x²=a²與圓（x-2）²+y²=1，證明方程組無解．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，雙曲線的焦點在x軸上，
設雙曲線的方程為x²-y²=a²，P（x，y），則x²-y²=a²，
|PA|²=（x-2）²+y²=（x-2）²+x²-a²=2（x-1）²+2-a²，
又由得a＞1
又當x=a時，|PA|²有最小值，即2（a-1）²+2-a²=（a-2）²=1，
∴a=3，所以，雙曲線的方程為x²-y²=9．
解（Ⅲ）：設直線l的方程為y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵，∴（-x₁，3-y₁）=λ（x₂，y₂-3），∴x₁=-λx₂（x₁x₂＜0）①，
由消去y得，（1-k²）x²-6kx-18=0，
x₁+x₂=②，x₁x₂=＜0   ③
將①分別代入②、③
得，（1-λ）x₂=④λx₂²=⑤
④²÷⑤并整理得，（l＞0）
令f（l）=，則
令f′（λ）=0，得 λ=1；    令f′（λ）＞0，
得0＜l＜1；令f′（λ）＜0，得l＞1
當時，，
f（1）=1，，∴
∴，∴．（13分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用．