Question

某特許專營店銷售上海世博會紀念章，每枚紀念章進價5元，同時，每銷售1枚需交2元特許經營費．預測這種紀念章以每枚20元的價格出售，一年可銷售2000枚．市場調研發現，銷售價格在每枚20元的基礎上，每減少1元，銷售量增加400枚；每增加1元，銷售量減少100枚．現設每枚紀念章銷售價為x元．
（1）把該專營店一年內銷售這種紀念章所獲得利潤y（元）表示為x的函數，并寫出定義域；
（2）問x取何值時，利潤y（元）最大．

Answer 1

分析：（1）分析題設條件，能夠求出y=

400(25-x)(x-7)，0＜x≤20 100(40-x)(x-7)，20＜x＜40

，定義域為（0，40）．
（2）當0＜x≤20時，當x=16時，y_max=32400元；當20＜x＜40時，當x=

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時，y_max=27225元．由此能夠求出當x=16時，利用y最大．

解答：（本題滿分12分）
解：（1）由題設條件知：
y=

[2000+400(20-x)](x-7).0＜x≤20 [2000-100(x-20)](x-7)，20＜x＜40

=

400(25-x)(x-7)，0＜x≤20 100(40-x)(x-7)，20＜x＜40

，
定義域為（0，40）．
（2）當0＜x≤20時，
∵y=400（25-x）（x-7）=-400x²+12800x-70000
=-400（x-16）²+32400，
∴當x=16時，y_max=32400元；
當20＜x＜40時，
∵y=100（40-x）（x-7）=-100（x-

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）²+27225，
∴當x=

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時，y_max=27225元．
故當x=16時，利用y最大．

點評：本題考查函數的表達式的求法，考查函數的最大值的求法及其應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．