Question

（2012•徐匯區(qū)一模）邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，E在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則

EC

•

EM

的取值范圍是

[

1

2

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：分別以AB、AD為x、y軸建立如圖坐標(biāo)系，可得C、M的坐標(biāo)，設(shè)E的坐標(biāo)為（x，0），可得向量

EC

、

EM

關(guān)于x的坐標(biāo)形式，從而得到

EC

•

EM

=x²-2x+

3

2

，最后結(jié)合x的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到

EC

•

EM

的取值范圍．

解答：解：以AB、AD分別為x、y軸建立坐標(biāo)系，如圖所示
可得C（1，1），M（1，

1

2

），設(shè)E（x，0）（0≤x≤1）
∴

EC

=（1-x，1），

EM

=（1-x，

1

2

）
因此，

EC

•

EM

=（1-x）（1-x）+1×

1

2

=x²-2x+

3

2

∵0≤x≤1
∴當(dāng)x=1時(shí)，

EC

•

EM

有最小值為

1

2

；當(dāng)x=0時(shí)，

EC

•

EM

有最大值為

3

2

由此可得

EC

•

EM

的取值范圍是[

1

2

，

3

2

]
故答案為：[

1

2

，

3

2

]

點(diǎn)評(píng)：本題給出正方形ABCD的邊BC的中點(diǎn)M和AB上任意一點(diǎn)E，求數(shù)量積

EC

•

EM

的最大、最小值．著重考查了正方形的性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的定義與坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．