Question

16．點A，B分別為圓M：x²+（y-3）²=1與圓N：（x-3）²+（y-8）²=4上的動點，點C在直線x+y=0上運動，則|AC|+|BC|的最小值為7．

Answer 1

分析 根據題意，算出圓M關于直線l對稱的圓M'方程為（x+3）²+y²=1．當點P位于線段NM'上時，線段AB的長就是|AC|+|BC|的最小值，由此結合對稱的知識與兩點間的距離公式加以計算，即可得出|AC|+|BC|的最小值．

解答 解：設圓C'是圓M：x²+（y-3）²=1關于直線x+y=0對稱的圓
可得M'（-3，0），圓M'方程為（x+3）²+y²=1，
可得當點P位于線段NM'上時，線段AB長是圓N與圓M'上兩個動點之間的距離最小值，
此時|AC|+|BC|的最小值為AB，
N（3，8），圓的半徑R=2，
∵|NM'|=$\sqrt{（-3-3）^{2}+{8}^{2}}$=10，
可得|AB|=|NM'|-R-r=10-2-1=7
因此|AC|+|BC|的最小值為7，
故答案為7．

點評 本題給出直線l與兩個定圓，求圓上兩個點A、B與直線l上動點P的距離之和的最小值，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．