Question

如圖，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝，設點E是棱PB上的動點(不含端點)，過點A、D、E的平面交棱PC于點F．

(1)求證：BC∥EF；

(2)求二面角A－PB－D的大小(結果用反三角函數值表示)；

(3)試確定點E的位置，使PC⊥平面ADFE，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)證明：∵BC∥AD，BC?面ADFE，∴BC∥面ADFE．又∵面ADFE∩面PBC＝EF，

　　∴BC∥EF．

　　(2)解：連結AC，交BD于點O，∵AC⊥BD，又PD⊥面ABCD，面PBD⊥面ABCD，∵AC⊥面PBD，∴AH⊥PB．∴∠AHO是二面角APBD的平面角．不妨設AD＝1，則，PA＝2，，．Rt△AHO中，sin∠AHO＝．∴二面角A－PB－D的大小為arcsin．

　　(3)解：假設棱PB上存在點E，由題意得PC⊥AD，要使PC⊥面ADFE，只要PC⊥DF即可．當PC⊥DF時，Rt△PDC中，CD²＝CF·PC，∵CD＝1，PC＝2，∴，．∵BC∥EF，∴時，PC⊥面ADFE．

提示：

(1)證明線線平行，可用線面平行的性質定理；(2)找二面角的平面角常用“三垂線定理”法，從其中一個面內找一點作另一個面的垂線，過垂足作棱的垂線，然后連結，即得二面角的平面角，這里易知AC與面PBD垂直；(3)由(1)EF與BC平行，所以E點的位置可由F點相應得到，假如PC⊥平面ADFE，則有PC⊥DF，從而可確定F點的位置．