Question

已知圓的方程為，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線，切點為．

（1）若，試求點的坐標；

（2）求證：經過三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標；

（3）求弦長的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）或；（2）見解析；（3）.

【解析】（1）根據，求得；（2）求出圓的方程，此式是關于的恒等式，列條件；（3）表示出弦長，求最值。

解：（1）設，由題可知，所以，解之得：故所求點的坐標為或．　                      ．．．．．．．．4分     

（2）設，的中點，因為是圓的切線

所以經過三點的圓是以為圓心，以為半徑的圓，

故其方程為：               ．．．．．．．．6分

化簡得：，此式是關于的恒等式，

故解得或                          

所以經過三點的圓必過定點或.                  ．．．．．．．．10分

（3）設，且與交于點，則

   當時，最小值為 ．．．16分

（幾何方法酌情給分）