Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且不等式的解集為.

（1）求的解析式；

（2）若在區(qū)間上有最小值，求實(shí)數(shù)的值；

（3）設(shè)，若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或；(3) .

【解析】

（1）通過(guò)，求出，利用1和3是方程的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理，求解函數(shù)的解析式．（2），，．對(duì)稱(chēng)軸為，分當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)情況討論函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值即可．

（3）當(dāng)，時(shí)，恒成立．推出，，．構(gòu)造函數(shù)通過(guò)換元法以及函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)化求解實(shí)數(shù)的取值范圍．

（1）由，得，

又1和3是方程的兩根，

所以，．

解得，，

因此．

（2），，．

對(duì)稱(chēng)軸為，分情況討論：

當(dāng)時(shí)，在，上為增函數(shù)，，

解得，符合題意；

當(dāng)時(shí)，在，上為減函數(shù)，在，上為增函數(shù)，，

解得，其中舍去；

當(dāng)時(shí)，在，上為減函數(shù)，（2），

解得，不符合題意．

綜上可得，或．

（3）由題意，當(dāng)，時(shí)，恒成立．

即，，．

設(shè)，，，則．

令，于是上述函數(shù)轉(zhuǎn)化為，

因?yàn)?/span>，，所以，，

又在，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，

于是實(shí)數(shù)的取值范圍是．