Question

已知圓x²+y²-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點,定點R(1,1),若PR⊥QR,求實數m的值.

Answer 1

解:設P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),

由消去y得5x²+4m-60=0.①

由題意,方程①有兩個不等的實數根,所以60-4m＞0,即m＜15.

由韋達定理因為PR⊥QR,所以k_PRk_QR=-1.

所以·=-1,即(x₁-1)(x₂-1)+(y₁-1)(y₂-1)=0,即x₁x₂-(x₁+x₂)+y₁y₂-(y₁+y₂)+2=0.②

因為y₁=3,y₂=3,

所以y₁y₂=(3)(3)=9(x₁+x₂)+=9+,y₁+y₂=6.

代入②,得x₁x₂+5=0,即(m-12)+5=0.

所以m=10,適合m＜15.所以實數m的值為10.