Question

已知：函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，當x∈（-3，2]時，f（x）＞0；當x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時，f（x）＜0．
（1）求f（x）在[0，1]內的值域；
（2）若

ax2+bx+c

x2+x+1

≤0的解集為R，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得到f（-3）=f（2）=0，代入函數(shù)解析式求出a與b的值，確定出函數(shù)解析式，配方后利用二次函數(shù)的性質即可得出f（x）在[0，1]內的值域；
（2）由已知不等式分母中根的判別式小于0，得到分母恒為正，可得出分子小于等于0的解集為R，將第一問求出a與b代入分子，令根的判別式小于等于0，列出關于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的范圍．

解答：解：（1）由題意得：f（-3）=f（2）=0，
即

9a-3(b-8)-a-ab=0 4a+2(b-8)-a-ab=0

，
解得：a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18=-3（x+

1

2

）²+

75

4

，
由a=-3＜0，得到拋物線開口向下，當x＞-

1

2

時，函數(shù)為減函數(shù)，
∵x∈[0，1]，∴f（x）∈[12，18]；
（2）∵x²+x+1中，△=-3＜0，
∴x²+x+1恒大于0，
由題意得：-3x²+5x+c≤0解集為R，
∴△=25+12c≤0，解得：c≤-

25

12

．

點評：此題考查了一元二次不等式的解法，以及二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解本題的關鍵．