Question

（2009•溫州一模）已知函數(shù)f(x)=

loga(x+1)+2  (x≥0) (a-1)•x+a2  (x＜0)

，（a＞0且a≠1）在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是

(1，

2

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，首先要保證分段函數(shù)的兩段上的表達式都要是增函數(shù)，因此a＞1，其次在兩段圖象的端點處必須要體現(xiàn)是增加的，因此得到在x=0處函數(shù)對應的第一個表達式的值要小于或等于第二個表達式的值列式得出a²≤2，兩者相結(jié)合可以得出a的取值范圍．

解答：解：首先，y=log_a（x+1）+2在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)
且函數(shù)y=（a-1）x+a²區(qū)間（-∞，0）上也是增函數(shù)
∴a＞1…（1）
其次在x=0處函數(shù)對應的第一個表達式的值要小于或等于第二個表達式的值，即
（a-1）•0+a²≤log_a（0+1）+2⇒a²≤2…（2）
聯(lián)解（1）、（2）得1＜a≤

2

 
故答案為：(1，

2

]

點評：本題著重考查了函數(shù)的單調(diào)性的應用和對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性的知識點，屬于中檔題．本題的易錯點在于只注意到兩段圖象的單調(diào)增，而忽視了圖象的接頭點處的縱坐標大小的比較，請同學們注意這點．