已知
是二次函數，不等式
的解集是
，且在點
處的切線與直線
平行．
(1)求的解析式；
(2)是否存在t∈N*，使得方程
在區間
內有兩個不等的實數根？
若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（1）
.
（2）存在唯一的自然數
，使得方程
在區間
內有且只有兩個不等的實數根.
解析試題分析：（1）根據
是二次函數，及不等式
的解集是
，
可設
，
. 再根據函數在切點的斜率就是該點處的導函數值，可建立
方程
，解得
.
（2）首先由（1）知，方程等價于方程
.
構造函數
，通過“求導數、求駐點、討論導數值的正負”明確函數的單調區間，通過計算
，
認識方程有實根的情況.
試題解析：（1）∵是二次函數，不等式的解集是，
∴可設，.
∴
. 2分
∵函數在點
處的切線與直線
平行，
∴
.
∴，解得.
∴
. 5分
（2）由（1）知，方程等價于方程 6分
設，
則
. 7分
當
時，
，函數
在
上單調遞減；
當
時，
，函數在
上單調遞增. 9分
∵
，
∴方程
在區間
，
內分別有唯一實數根，在區間
內沒有實數根. 12分
∴存在唯一的自然數，使得方程
在區間內有且只有兩個不等的根. 13分
考點：二次函數，導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知a，b為常數，a¹0，函數
．
（1）若a=2，b=1，求
在（0，+∞）內的極值；
（2）①若a>0，b>0，求證：在區間[1，2]上是增函數；
②若
，
，且在區間[1，2]上是增函數，求由所有點
形成的平面區域的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
（
為常數），其圖象是曲線
．
（1）當
時，求函數
的單調減區間；
（2）設函數的導函數為
，若存在唯一的實數
，使得
與
同時成立，求實數
的取值范圍；
（3）已知點
為曲線上的動點，在點處作曲線的切線
與曲線交于另一點
，在點處作曲線的切線
，設切線
的斜率分別為
．問：是否存在常數
，使得
？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
=
。
（1）當
時，求函數的單調增區間；
（2）求函數在區間
上的最小值；
（3）在（1）的條件下，設
=+
，
求證：
（
），參考數據：
。（13分）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進行開發建設，陰影部分為一公共設施不能建設開發，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在直線上），公共設施邊界為曲線
的一部分，欄柵與矩形區域的邊界交于點M、N，切曲線于點P，設
．
(I)將
（O為坐標原點）的面積S表示成f的函數S(t)；
(II)若
，S(t)取得最小值，求此時a的值及S(t)的最小值．
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.
時，求函數
時，若
恒成立，求
的取值范圍.
.
在
和
處的切線互相平行，求
的值；
的單調區間；
，若對任意
，均存在
，使得
，求
，其中
為常數. 
是區間
上的增函數，求實數
在
時恒成立，求實數
．
的單調區間；
,
在區間
恒成立,求a的取值范圍．