Question

拋物線y²=4x的焦點為F，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁＞x₂，y₁＞0，y₂＜0）在拋物線上且A，B，F三點共線且|AB|=

25

4

求（1）直線AB的方程．
（2）△AOB外接圓方程．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求得拋物線y²=4x的焦點F（1，0），設出直線AB的方程為y=k（x-1），將直線AB的方程與拋物線方程y²=4x聯立，利用|AB|=

25

4

即可求得k，從而可得直線AB的方程；
（2）由（1）可知直線AB的方程，利用直線AB的方程與拋物線方程y²=4x聯立得到的關于x的一元二次方程可求得A，B兩點的坐標，設出△AOB外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
將A，O，B三點的坐標代入，即可求得D，E，F．

解答：解：（1）∵y²=4x的焦點F（1，0），
依題意，設直線AB的方程為y=k（x-1），因為|AB|=

25

4

，
由拋物線的定義可得：|AB|=|AA′|+|BB′|=x₁+1+x₂+1=

25

4

，
∴x₁+x₂=

17

4

．

由

y=k(x-1) y2=4x

得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

=

17

4

，
∴k²=

16

9

，又k＞0，
∴k=

4

3

．
∴直線AB的方程為：y=

4

3

（x-1）．
（2）將k²=

16

9

代入k²x²-（2k²+4）x+k²=0得：4x²-17x+4=0，
∴x=

1

4

或x=4，即x₁=4，x₂=

1

4

，將x₁，x₂分別代入直線AB的方程y=

4

3

（x-1）得：y₁=4，y₂=-1．
∴A（4，4），B（

1

4

，-1）．
設△AOB外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則：

F=0 16+16+4D+4E=0 1 16 +1+ 1 4 D-E=0

，解得

F=0 D=- 29 4 E=- 3 4

．
故△AOB外接圓方程為x²+y²-

29

4

x-

3

4

y=0．

點評：本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與圓錐曲線的關系，考查方程思想與等價轉換思想的綜合運用，考查推理與運算能力，屬于難題．