Question

對于正整數k，g（k）表示k的最大奇因數，如g（1）=1，g（2）=1，g（3）=3，g（4）=1，…．
（1）分別計算：g（1）+g（3）+g（5）+g（7）；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）；
（2）求g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2k-1）；
并證明g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）=g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2ⁿ）；
（3）記f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）其中n為正整數，求f（n）．

Answer 1

解：（1）g（1）+g（3）+g（5）+g（7）=1+3+5+7+16；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6；g（2）+g（4）+g（6）+g（8）=1+1+3+1=6
（2）g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2k-1）=
證明：∵2k=2•k∴2k中的最大奇因數即k為中的最大奇因數
∴g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2ⁿ）=g（2•1）+g（2•2）+g（2•3）+…+g（2•2^n-1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）
（3）當n≥2時，f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）=g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）+g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）=1+3+5+…+（2ⁿ-1）+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）==4^n-1+f（n-1）
即f（n）-f（n-1）=4^n-1
∴f（3）-f（2）=4²，f（4）-f（3）=4³，
…f（n）-f（n-1）=4^n-1
可得f（n）=4²+4³+…+4^n-1+f（2）=
當n=1時，f（1）=g（1）+g（2）=1+1=2也成立，
∴n∈N^*
分析：（1）g（1）+g（3）+g（5）+g（7）=1+3+5+7+16；g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6，g（2）+g（4）+g（6）+g（8）=1+1+3+1=6
（2）g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2k-1）=1+3+5+…（2k-1），利用等差數列的求和公式可求
由2k=2•k可得2k中的最大奇因數即k為中的最大奇因數，從而可得g（2）+g（4）+g（6）+…+g（2ⁿ）=g（2•1）+g（2•2）+g（2•3）+…+g（2•2^n-1）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1）
（3）由于f（n）=g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2ⁿ）=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]=1+3+5+…+（2ⁿ-1）+g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2^n-1），由（2）及等差數列的 求和公式可得f（n）=f（n-1）+4^n-1，利用疊加可求
點評：本題考查數列的性質和應用，疊加求解數列的通項公式，等差數列的求和公式，解題時要注意公式的靈活運用，合理地進行等價轉化．