Question

已知函數f（x）=x²+alnx．
（Ⅰ）當a=-2時，求函數f（x）的單調區間和極值；
（Ⅱ）若函數g(x)=f(x)+

2

x

在[1，+∞）上是增函數，不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出函數的定義域，把a代入到函數中并求出f′（x）=0時x的值，在定義域內討論導函數的正負得到函數的單調區間及極值；
（Ⅱ）把f（x）代入到g（x）中得到g（x）的解析式，求出其導函數大于0即函數單調，可設φ（x）=

2

x

-2x²，求出其導函數在[1，+∞）上單調遞減，求出φ（x）的最大值，列出不等數求出解集即為a的取值范圍．

解答：解：（I）函數f（x）的定義域為（0，+∞）
當a=-2時，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下：

由上表可知，函數f（x）的單調遞減區間是（0，1）；
單調遞增區間是（1，+∞）．
極小值是f（1）=1；

（Ⅱ）由g(x)=x2+alnx+

2

x

，得g′(x)=2x+

a

x

-

2

x2

又函數g(x)=x2+alnx+

2

x

為[1，+∞)上單調增函數，
則g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x-

2

x2

+

a

x

≥0在[1，+∞)上恒成立
也即a≥

2

x

-2x2在[1，+∞）上恒成立
又?(x)=

2

x

-2x2在[1，+∞）為減函數，
所以φ（x）_max=φ（1）=0．
所以a≥0．a的取值范圍為[0，+∞）．

點評：考查學生利用導數研究函數的單調性，利用導數研究函數的極值．以及理解函數恒成立所取的條件．