Question

已知函數f(x)=

x-a

x-2

，
（1）若a∈N，且函數f（x）在區間（2，+∞）上是減函數，求a的值；
（2）若a∈R，且函數f（x）=-x恰有一根落在區間（-2，-1）內，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）用分離常數法把f（x）化簡，再用復合函數的單調性求a的值
（2）轉化為F（x）=f（x）+x在區間（-2，-1）內有一根，再利用F（x）在區間（-2，-1）上兩端點值一正一負求a的取值范圍

解答：解：（1）f(x)=

x-a

x-2

=1+

2-a

x-2

，由于函數在（2，+∞）上遞減，所以2-a＞0，即a＜2，
又a∈N，所以a=0，或者a=1
a=0時，f(x)=1+

2

x-2

；a=1時，f(x)=1+

1

x-2

故  a=0，或者a=1
（2）令F（x）=f（x）+x=

x-a

x-2

+x=x+1+

2-a

x-2

F(-2)=-1+

2-a

-4

=

6-a

-4

F(-1)=

2-a

-3

當F(-2)•F(-1)=

6-a

-4

•

2-a

-3

＜0時，
即（a-2）（a-6）＜0，2＜a＜6時函數可能有一根在所給區間中．
（或用根與系數的關系）
故  2＜a＜6

點評：對函數零點存在的判斷中，必須強調：①函數在給定區間上連續，②在區間的兩端點值一正一負．