Question

已知圓C：x²+y²+bx+ay-3=0（a＞0，b＞0）上任意一點關于直線l：x+y+2=0的對稱點都在圓C上，則

1

a

+

4

b

的最小值為（　�。�

• A．

  9

  4

• B．9
• C．1
• D．2

Answer 1

分析：求出圓的圓心坐標，由題意可知圓心在直線上，得到a，b的方程，然后利用基本不等式求出

1

a

+

4

b

的最小值．

解答：解：圓C：x²+y²+bx+ay-3=0（a，b為正實數），所以圓的圓心坐標（-

b

2

，-

a

2

），
因為圓C：x²+y²+bx+ay-3=0（a，b為正實數）上任意一點關于直線l：x+y+2=0的對稱點都在圓C上，
所以直線經過圓心，即a+b=4．
∴

1

a

+

4

b

=

a+b 4

a

+

a+b

b

=

5

4

+

b

4a

+

a

b

≥

5

4

+2

b 4a •  a b

=

9

4

，
當且僅當

b

4a

=

a

b

時，等號成立，故

1

a

+

4

b

的最小值為

9

4

，
故選A．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，基本不等式的應用，考查轉化思想，計算能力，屬于基礎題．