Question

已知函數f（x）=x²+（2a-1）x-3
（1）當a=2，x∈[-2，3]時，求函數f（x）的值域；
（2）若函數f（x）在[-1，3]上的最大值為1，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，先將二次函數進行配方，然后求出對稱軸，結合函數的圖象可求出函數的值域．
（2）根據二次函數的性質可知二次項的系數為正數，函數f（x）=x²+（2a-1）x-3的對稱軸是：x=

1

2

-a．進行分類討論：當=

1

2

-a＞1時，當=

1

2

-a＞1時，分別函數f（x）在[-1，3]上的最大值，再根據最值在定點處取得建立等式關系，解之即可．

解答：解：（1）當a=2時，f（x）=x²+3x-3
=（x+

3

2

）²-

21

4

，對稱軸為x=-

3

2

＜3，
∴函數在[-2，-

3

2

]上單調遞減函數，在[-

3

2

，3]上單調遞增函數，
∴f（

3

2

）≤y≤f（3）
f（3）=15，f（

3

2

）=-

21

4

∴該函數的值域為：[-

21

4

，15]．
（2）函數f（x）=x²+（2a-1）x-3的對稱軸是：x=

1

2

-a．
當

1

2

-a＞1時，函數f（x）在[-1，3]上的最大值為f（-1）=-2a-1=1
∴a=-1；
當

1

2

-a≤1時，函數f（x）在[-1，3]上的最大值為f（3）=6a+3=1
∴a=-

1

3

；
∴實數a的值a=-

1

3

．或a=-1．

點評：本題主要考查了函數的值域，以及二次函數的圖象等有關基礎知識，考查計算能力，數形結合的思想，屬于基礎題．