Question

若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的、單調(diào)的函數(shù)，且滿足f（a）•f（b）＜0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上有唯一的零點(diǎn)”．對(duì)于函數(shù)f（x）=-x³+x²+x+m，
（1）當(dāng)m=0時(shí)，討論函數(shù)f（x）=-x³+x²+x+m在定義域內(nèi)的單調(diào)性并求出極值；
（2）若函數(shù)f（x）=-x³+x²+x+m有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接求函數(shù)f（x）=-x³+x²+x的導(dǎo)函數(shù)，判斷單調(diào)性求函數(shù)極值即可；
（2）三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，也就是函數(shù)圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的極小值小于0，極大值大于0，即求函數(shù)的極值即可解決．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-x³+x²+x．
∴f′（x）=-3x²+2x+1=-3(x+

1

3

)(x-1)．
列表如下：

由表可知：函數(shù)f（x）=-x³+x²+x在區(qū)間[-

1

3

，1]上單調(diào)遞增，在(-∞，-

1

3

)和（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f（x）的極小值為f(-

1

3

)=-

5

27

，
極大值為?（1）=1．
（2）由（1）知，當(dāng)x=-

1

3

時(shí)，
f（x）取得極小值f(-

1

3

)= 

1

27

+

1

9

-

1

3

+m=m-

5

27

，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值
f（1）=-1+1+1+m=m+1，
當(dāng)

m- 5 27 ＜0 m+1＞0

，即-1＜m＜

5

27

時(shí)，
f（-1）=1+1-1+m=m+1＞0，
f(-

1

3

)=m-

5

27

＜0，
f（1）=m+1＞0，f（2）=m-2＜0，
∴f（x）=-x³+x²+m在[-1，-

1

3

]上有唯一零點(diǎn)．
在(-

1

3

，1]上有唯一零點(diǎn)，在（1，2]上有唯一零點(diǎn)．又f（x）=-x³+x²+x+m在（-∞，-1]上單調(diào)遞減，
在[2，+∞]上單調(diào)遞減，∴在（-∞，-1]上恒有?f（x）≥f（-1）＞0，在[2，+∞）上恒有f（x）≤f（2）＜0．
∴f（x）=-x³+x²+x+m-在（-∞，-1]和[2，+∞）上無(wú)零點(diǎn)．∴-1＜m＜

5

27

時(shí)，函數(shù)f（x）=-x³+x²+x+m在有三個(gè)零點(diǎn)，
∴所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-1，

5

27

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)的概念，以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，屬于中檔題．