Question

設x軸、y軸正方向上的單位向量分別是

i

、

j

，坐標平面上點A_n、B_n（n∈N^*）分別滿足下列兩個條件：
①

OA1

=16

j

且

An-1A

n=

i

（n∈N^*，n≥2）；
②

OB1

=

i

+

1

2

j

且

Bn-1Bn

=-

1

n(n+1)

j

(n∈N*，n≥2)．
（1）求

OAn

及

OBn

的坐標；
（2）設an=

OAn

•

OBn

，求a_n的通項公式；
（3）對于（Ⅱ）中的a_n，是否存在最大的自然數M，對所有n∈N^*都有a_n≥M成立？若存在，求M值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中x軸、y軸正方向上的單位向量分別是

i

、

j

，

OA1

=16

j

且

An-1A

n=

i

，可得

OAn

的坐標，由

OB1

=

i

+

1

2

j

且

Bn-1Bn

=-

1

n(n+1)

j

(n∈N*，n≥2)．可得

OBn

的坐標
（2）由已知中向量

OAn

，

OBn

的坐標，代入向量數量積公式可得a_n的通項公式
（3）由（3）中a_n的通項公式，結合基本不等式可得存在最大的自然數M=6，對所有n∈N^*都有a_n≥M成立．

解答：解：（1）∵

OA1

=16

j

且

An-1A

n=

i

（n∈N^*，n≥2）
∴

OAn

=

OA1

+

A1A2

+…+

An-1An

=16

j

+(n-1)

i

=(n-1)

i

+16

j

=(n-1，16)，
又∵

OB1

=

i

+

1

2

j

且

Bn-1Bn

=-

1

n(n+1)

j

(n∈N*，n≥2)．
∴

OBn

=

OB1

+

B1B2

+…+

Bn-1Bn

=(

i

+

1

2

j

)-(

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)

j

=

i

+

1

n+1

j

=(1，

1

n+1

)；…（4分）
（2）由（1）中

OAn

=(n-1，16)，

OBn

=(1，

1

n+1

)
∴an=

OAn

•

OBn

=n-1+

16

n+1

；…（8分）
（3）an=n-1+

16

n+1

=(n+1)+

16

n+1

-2≥6，
當且僅當n=3時取得最小值6．
所以存在最大的自然數M=6，對所有n∈N^*都有a_n≥M成立．（也可以由對號函數求解最小值）                          …（14分）

點評：本題考查的知識點是平面向量的線性運算，平面向量的數量積，基本不等式在求最值時的應用，是平面向量與基本不等式的綜合應用，難度中等．