Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]

已知函數f（x）=|2x﹣1|+|2x+1|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設m＞0，n＞0且m+n=1，求證： ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：f（x）=|2x﹣1|+|2x+1≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|=2，
∵不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，
∴a2﹣2a﹣1≤2，
∴a2﹣2a﹣3≤0，
∴﹣1≤a≤3；
（Ⅱ）要證： 成立，
只需證 ，
兩邊平方，整理即證（2m+1）（2n+1）≤4，
即證mn≤ ，
又m+n=1，
∴mn≤ = ．
故原不等式成立
【解析】（Ⅰ）求出f（x）的最小值，不等式f（x）≥a2﹣2a﹣1恒成立，可得a2﹣2a﹣1≤2，即可求實數a的取值范圍；（Ⅱ）要證： 成立，只需證 ，利用分析法的證明步驟，結合基本不等式證明即可．
【考點精析】利用絕對值不等式的解法和不等式的證明對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．