Question

設f0(x)=sin2x+cos2x，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，f1+n(x)=fn′(x)，n∈N*，則f₂₀₁₃（x）=（　　）

A．2²⁰¹²（cos2x-sin2x）

B．2²⁰¹³（sin2x+cos2x）

C．2²⁰¹²（cos2x+sin2x）

D．2²⁰¹³（sin2x+cos2x）

Answer 1

分析：利用復合函數的求導法則，通過4次求導即可找出其規律，進而即可得出答案．

解答：解：∵f₀（x）=sin2x+cos2x，∴f₁（x）=f0′(x)=2（cos2x-sin2x），f₂（x）=f1′(x)=2²（-sin2x-cos2x），
f₃（x）=f2′(x)=2³（-cos2x+sin2x），f₄（x）=f3′(x)=2⁴（sin2x+cos2x），…
通過以上可以看出：f_n（x）滿足以下規律，對任意n∈N，fn+4(x)=24fn(x)．
∴f₂₀₁₃（x）=f_503×4+1（x）=2²⁰¹²f₁（x）=2²⁰¹³（cos2x-sin2x）．
故選A．

點評：熟練掌握復合函數求導的方法和通過幾次求導找出其規律是解題的關鍵．