Question

設m，n是給定的整數，，是一個正2n+1邊形，．求頂點屬于P且恰有兩個內角是銳角的凸m邊形的個數．

Answer 1

見解析

先證一個引理：頂點在P中的凸m邊形至多有兩個銳角，且有兩個銳角時，這兩個銳角必相鄰．
事實上，設這個凸邊形為，只考慮至少有一個銳角的情況，此時不妨設，
則，       
更有．
而+，故其中至多一個為銳角，這就證明了引理．
由引理知，若凸邊形中恰有兩個內角是銳角，則它們對應的頂點相鄰．
在凸邊形中，設頂點與為兩個相鄰頂點，且在這兩個頂點處的內角均為銳角．設與的劣弧上包含了的條邊（），這樣的在固定時恰有對．
（1）若凸邊形的其余個頂點全在劣弧上，而劣弧上有個中的點，此時這個頂點的取法數為．
（2）若凸邊形的其余個頂點全在優弧上，取，的對徑點，，由于凸邊形在頂點，處的內角為銳角，所以，其余的個頂點全在劣弧上，而劣弧上恰有個中的點，此時這個頂點的取法數為．
所以，滿足題設的凸邊形的個數為

．