Question

如圖，ABC-A′B′C′是正三棱柱，底面邊長為a，D、E分別是BB′、CC′上的一點，BD=

1

2

a，EC=a．
（1）求證：平面ADE⊥平面ACC′A′；
（2）求截面△ADE的面積．

Answer 1

分析：（1）分別取A′C′、AC的中點M、N，利用正三棱柱的性質及線面垂直的判定定理即可得出B′M⊥平面A′ACC′，假設MN與AE交于點P，再證明PNBD是矩形，可得PD⊥平面ACC′A′，從而證明結論；
（2）利用（1）可知：PD⊥AE，分別計算出PD，AE，再利用三角形的面積公式即可得出．

解答：（1）證明：分別取A′C′、AC的中點M、N，連接MN，B′M，BN，則MN∥A′A∥B′B，
∴B′、M、N、B共面，B′M⊥A′C′，
又B′M⊥AA′，∴B′M⊥平面A′ACC′．
設MN交AE于P，∵CE=AC，∴PN=NA=

a

2

，
又DB=

a

2

，∴PN=BD．
∵PN∥BD，∴PNBD是矩形，
于是PD∥BN，BN∥B′M，∴PD∥B′M，
∵B′M⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥平面ACC′A′，PD?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACC′A′．
（2）解：PD⊥平面ACC′A′，
∴PD⊥AE，PD=B′M=

3

2

a，AE=

2

a．
∴S_△ADE=

1

2

×AE×PD=

1

2

×

3

2

a×

2

a=

6

4

a²．

點評：熟練掌握正三棱柱的性質、線面與面面垂直的判定和性質定理、三角形的面積計算公式是解題的關鍵．