Question

（本小題滿分15分）如圖，斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側棱與底面成60°角．

（1）求證：AC⊥面ABC₁；

（2）求證：C₁點在平面ABC上的射影H在直線AB上；

（3）求此三棱柱體積的最小值．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）由棱柱性質，可知A₁C₁//AC，∵A₁C₁BC₁， 

        ∴ACBC₁，又∵ACAB，∴AC平面ABC₁

   （2）由（1）知AC平面ABC₁，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC₁，

  在平面ABC₁內，過C₁作C₁HAB于H，則C₁H平面ABC，故點C₁在平面ABC上

    的射影H在直線AB上.

 （3）3.

 

【解析】

（1）由棱柱性質，可知A₁C₁//AC，∵A₁C₁BC₁， 

        ∴ACBC₁，又∵ACAB，∴AC平面ABC₁

   （2）由（1）知AC平面ABC₁，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC₁，

  在平面ABC₁內，過C₁作C₁HAB于H，則C₁H平面ABC，故點C₁在平面ABC上

    的射影H在直線AB上.

 （3）連結HC，由（2）知C₁H平面ABC， ∴∠C₁CH就是側棱CC₁與底面所成的角，

     ∴∠C₁CH=60°，C₁H=CH·tan60°=

   V_棱柱=

 ∵CAAB，∴CH，所以棱柱體積最小值3.