Question

已知f₀(x)＝xⁿ，f_k(x)＝，其中k≤n(n，k∈N₊)．設F(x)＝f₀(x²)＋f₁(x²)＋…＋f_k(x²)＋…＋f_n(x²)，x∈[－1，1]．

(1)寫出f_k(1)；

(2)證明：對任意的x₁，x₂∈[－1，1]，恒有|F(x₁)－F(x₂)|≤2^n－1(n＋2)－n－1．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：由已知推得fk(x)＝(n－k＋1)xn－k，從而有 　　fk(1)＝n－k＋1． 　　(2)證法一：當－1≤x≤1時， 　　F(x)＝x2n＋＋＋…＋(n－k＋1)＋…＋2， 　　當x＞0時，(x)＞0，所以F(x)在[0，1]上是增函數． 　　又F(x)是偶函數，所以F(x)在[－1，0]上是減函數． 　　所以對任意的x1，x2∈[－1，1]，恒有 　　|F(x1)－F(x2)|≤F(1)－F(0)． 　　F(1)－F(0)＝＋n＋(n－1)＋…＋(n－k＋1)＋…＋2 　　＝n＋(n－1)＋…＋(n－k＋1)＋…＋2＋． 　　∵(n－k＋1)＝(n－k)＋＝(n－k)·＋ 　　＝n·＋ 　　＝n＋(k＝1，2，…，n－1)， 　　∴F(1)－F(0)＝n(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)＋ 　　＝n(2n－1－1)＋2n－1 　　＝2n－1(n＋2)－n－1． 　　因此結論成立． 　　證法二：當－1≤x≤1時， 　　F(x)＝x2n＋nx2(n－1)＋(n－1)x2(n－2)＋…＋(n－k＋1)x2(n－k)＋…＋2x2＋1， 　　當x＞0時，(x)＞0，所以F(x)在[0，1]上是增函數． 　　又F(x)是偶函數，所以F(x)在[－1，0]上是減函數． 　　所以對任意的x1，x2∈[－1，1]，恒有 　　|F(x1)－F(x2)|≤F(1)－F(0)． 　　F(1)－F(0)＝＋n＋(n－1)＋…＋(n－k＋1)＋…＋2， 　　又∵F(1)－F(0)＝2＋3＋…＋n＋， 　　∴2(F(1)－F(0))＝(n＋2)(＋＋…＋)＋2， 　　∴F(1)－F(0)＝(n＋2)(＋＋…＋)＋1＝(n＋2)·＋1＝2n－1(n＋2)－n－1． 　　因此結論成立． 　　分析：本小題主要考查導數的基本計算，函數的性質，絕對值不等式及組合數性質等基礎知識，考查歸納推理能力以及綜合運用數學知識分析問題和解決問題的能力，滿分12分．