Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l．
（1）求拋物線上任意一點Q到定點N（2p，0）的最近距離；
（2）過點F作一直線與拋物線相交于A，B兩點，并在準線l上任取一點M，當M不在x軸上時，證明：是一個定值，并求出這個值．（其中k_MA，k_MB，k_MF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

Answer 1

【答案】分析：（1）可以設出點Q坐標，用Q點坐標表示|QN|，再利用二次函數求最值即可．
（2）因為過點F作一直線與拋物線相交于A，B兩點，可設出直線方程的點斜式，代入拋物線方程，消x，得到y²-2pmy-p²=0，求兩根之和，兩根之積，這樣，就可以用A，B含k的式子表示，再消掉k，即可得結果，為一定值．
解答：解：（1）設點Q（x，y），則|QN|²=（x-2p）²+y²=（x-p）²+3p²
當x=p時，
（2）由條件設直線AB：代入y²=2px
得y²-2pmy-p²=0，
設
則==
又所以為定值2．
點評：本題考查了只限于圓錐曲線的位置關系的判斷，做題時應該認真分析，找到突破口．