Question

已知a，b∈R，a²+b²≤4，求證：|3a²-8ab-3b²|≤20．

Answer 1

分析：由于a，b∈R，a²+b²≤4，故可采用換元法，轉化為利用三角函數的值域進行求解．

解答：證明：∵a，b∈R，a²+b²≤4，∴可設a=rsinα，b=rcosα，其中0≤r≤2．
∴|3a²-8ab-3b²|=r²|3cos²α-8sinαcosα-3sin²α|=r²|3cos2α-4sin2α|
=5r²|cos（2α+φ）|≤5r²≤5×2²=20．
故原不等式成立．

點評：本題以不等式為條件，考查不等式的證明，關鍵是換元，利用三角函數知識求解．