Question

（04全國卷I）（12分）

如圖，已知四棱錐 P―ABCD，PB⊥AD側面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°.

（I）求點P到平面ABCD的距離，

（II）求面APB與面CPB所成二面角的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解析：（I）如圖，作PO⊥平面ABCD，垂足為點O.連結OB、OA、OD、OB與AD交于點E，連結PE.

∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，

∵PA=PD，∴OA=OD，

于是OB平分AD，點E為AD的中點，所以PE⊥AD.

由此知∠PEB為面PAD與面ABCD所成二面角的平面角，

∴∠PEB=120°，∠PEO=60°

由已知可求得PE=

∴PO=PE?sin60°=，

即點P到平面ABCD的距離為.

（II）解法一：如圖建立直角坐標系，其中O為坐標原點，x軸平行于DA.

.連結AG.

又知由此得到：

所以

等于所求二面角的平面角，

于是

所以所求二面角的大小為  .

解法二：如圖，取PB的中點G，PC的中點F，連結EG、AG、GF，則AG⊥PB，FG//BC，FG=BC.

∵AD⊥PB，∴BC⊥PB，FG⊥PB，

∴∠AGF是所求二面角的平面角.

∵AD⊥面POB，∴AD⊥EG.

又∵PE=BE，∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.

在Rt△PEG中，EG=PE?cos60°=.

在Rt△PEG中，EG=AD=1.

于是tan∠GAE==,

又∠AGF=π－∠GAE.

所以所求二面角的大小為π－arctan.