Question

x∈R，下列四個集合中是空集的是（　　）

• A．{x|x²-3x+2=0}
• B．{x|x²＜x}
• C．{x|x²-2x+3=0}
• D．{x|sinx+cosx=

  π

  3

  }

Answer 1

分析：根據空集的定義，依次分析選項：對于A，解x²-3x+2=0可得{x|x²-3x+2=0}={1，2}，對于B，解x²＜x可得{x|x²＜x}={x|0＜x＜1}，對于C，對于方程x²-2x+3=0，計算其△，可得該方程無解，則{x|x²-2x+3=0}=∅；對于D，根據和角公式可得sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），分析可得sinx+cosx的取值范圍，分析可得sinx+cosx=

π

3

有解，則{x|sinx+cosx=

π

3

}≠∅，即可得答案．

解答：解：根據空集的定義，依次分析選項：
對于A，x²-3x+2=0的根為1和2，則{x|x²-3x+2=0}={1，2}，不是空集；
對于B，x²＜x?0＜x＜1，{x|x²＜x}={x|0＜x＜1}，不是空集；
對于C，x²-2x+3=0中，△=（-2）²-4×3＜0，方程x²-2x+3=0無解，則{x|x²-2x+3=0}=∅；
對于D，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），則-

2

≤sinx+cosx≤

2

，又由

π

3

＜

2

，則sinx+cosx=

π

3

有解，則{x|sinx+cosx=

π

3

}≠∅，
故選C．

點評：本題考查空集的概念，關鍵是理解空集的定義．