Question

【題目】設函數.

（1）求函數的單調遞減區間；

（2）若，對于給定實數，總存在實數，使得關于的方程恰有3個不同的實數根.

（i）求實數的取值范圍；

（ii）記，求證：.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間是，；（2）（i）；（ii）證明見詳解.

【解析】

（1）當，，當時，可知，此時無單調遞減區間；當時，令，可得，再根據為偶函數，即可求出函數 的單調遞減區間；

（2）（i），令，則，令，利用導數可得；再分別對和，兩種情況分類討論，根據函數的單調性和奇偶性以及對稱性進行分析，即可求出結果；

（ii）由的四個根為，，，，不妨設，由于為偶函數，則，化簡整理可得，令，，令，根據導數在函數單調性和最值的應用，即可求證結果.

（1）當，，當，；當，，∴.

又為偶函數，∴當時，的單調遞減區間是，，

當時，無單調遞減區間.

（2）（i）

，令，

則，

令，，

∴在遞減，遞增，遞減，遞增.

.

①當時，可得，此時，所以在遞減，在遞增，則至多2個零點，不符合題意.

②當，則有4個不同實根，即時，有2個不同實根，此時.

其中，（極大），，設的4個實根為，則極大，極小，極大，極小，由于為奇函數，所以極值關于原點對稱，，

，∴，當時有3個零點.

（ii）由的四個根為，，，，不妨設，由于為偶函數，則，，

∴，

令，，

令，，所以單調遞增，

，所以，單調遞增，則，

所以，.