Question

已知奇函數f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意義，且在（0，+∞）上是增函數，f（1）=0，又有函數g（θ）=sin²θ+mcosθ-2m，θ∈[0，

π

2

]，若集合M={m|g（θ）＜0}，集合N={m|f[g（θ）]＜0}．
（1）求f（x）＜0的解集；
（2）求M∩N．

Answer 1

分析：（1）由f（x）為奇函數，在（-∞，0）上是增函數，可判斷f（x）在（-∞，0）上單調性，由f（1）=0可得f（-1）=0，據此可解不等式；
（2）由（1）可去掉符號集合N中的符號“f”，從而可化簡M∩N，分離出m后轉化求函數的最值，用基本不等式可求得最值；

解答：解：（1）f（x）為奇函數，f（1）=0⇒f（-1）=-f（1）=0，
f（x）在（-∞，0）上是增函數⇒f（x）在（-∞，0）上也是增函數，
⇒f（x）＜0的解集為{x|x＜-1或0＜x＜1}；
（2）N={m|f[g（θ）]＜0}={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，
M={m|g（θ）＜0}⇒M∩N={m|g（θ）＜-1}，

g(θ)＜-1⇒sin2θ+mcosθ-2m＜-1⇒(2-cosθ)m＞2-cos2θ ⇒m＞ 2-cos2θ 2-cosθ =cosθ-2+ 2 cosθ-2 +4

，
由θ∈[0，

π

2

]⇒cosθ-2∈[-2，-1]⇒

2-cos2θ

2-cosθ

≤4-2

2

（當cosθ=2-

2

時，等號成立）⇒m＞4-2

2

⇒M∩N={m|m＞4-2

2

}．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性的綜合應用，考查學生運用知識解決問題的能力．