Question

【題目】【2017湖南長沙二模】已知函數(shù)，.

（1）證明：，直線都不是曲線的切線；

（2）若，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）若直線與曲線相切，因直線過定點，若設(shè)切點則可得①，又，上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)時，①成立，這與矛盾,結(jié)論得證.

（2）可轉(zhuǎn)化為，令，，，分類討論求的最小值即可.

試題解析：（1）的定義域為，，直線過定點，若直線與曲線相切于點（且），則，即①，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，又，從而當(dāng)且僅當(dāng)時，①成立，這與矛盾.

所以，，直線都不是曲線的切線；

（2）即，令，，

則，使成立，

.

（i）當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，于是，由得，滿足，所以符合題意；

（ii）當(dāng)時，由及的單調(diào)性知在上為增函數(shù)，所以，即.

①若，即，則，所以在為增函數(shù)，于是，不合題意；

②若，即，則由，及的單調(diào)性知存在唯一，使，且當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；

所以，由得，這與矛盾，不合題意.

綜上可知，的取值范圍是.