Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點F，直線x=

a2

c

與x軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A、(0，

  2

  2

  ]
• B、(0，

  1

  2

  ]
• C、[

  2

  -1，1)
• D、[

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等，根據|PF|的范圍求得|FA|的范圍，進而求得

c

a

的范圍即離心率e的范圍．

解答：解：由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等
而|FA|=

a2

c

-c=

b2

c

|PF|∈[a-c，a+c]
于是

b2

c

∈[a-c，a+c]
即ac-c²≤b²≤ac+c²
∴

ac-c2≤a2-c2 a2-c2≤ac+c2

c a ≤1 c a ≤-1或 c a ≥ 1 2

又e∈（0，1）
故e∈[

1

2

，1]．
故選D．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質，注意在解不等式過程中將

c

a

看作整體，屬基礎題．